Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)} = \cos (2 A)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\cot (A) + \tan (A)}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\cot (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \tan (A)}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\tan (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (A) \cos (A)$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$ par $\frac{\sin (A) \cos (A)}{\sin (A) \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \cos (A)}{\sin (A) \cos (A)} \cdot \frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.3.2

Associez.

$\frac{\sin (A) \cos (A) (\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) (\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun de $\sin (A)$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $\sin (A)$ à partir de $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\sin (A) (\cos (A)) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.2

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.3

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (A)}^{1 + 1} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.6

Annulez le facteur commun de $\cos (A)$ .

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Étape 2.5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.6.2

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) (- \sin (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.7

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\sin^{1} (A) \sin (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.8

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\sin^{1} (A) \sin^{1} (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (A) - {\sin (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.11

Annulez le facteur commun de $\sin (A)$ .

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Étape 2.5.11.1

Factorisez $\sin (A)$ à partir de $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) (\cos (A)) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.12

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{1} (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.13

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{{\cos (A)}^{1 + 1} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.16

Annulez le facteur commun de $\cos (A)$ .

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Étape 2.5.16.1

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Étape 2.5.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin (A) \sin (A)}$

Étape 2.5.17

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{1} (A) \sin (A)}$

Étape 2.5.18

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{1} (A) \sin^{1} (A)}$

Étape 2.5.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + {\sin (A)}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{2} (A)}$

Étape 2.6

Réorganisez les termes.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{1}$

Étape 2.8

Divisez $\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)$ par $1$ .

$\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)$

Étape 2.9

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 A)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)} = \cos (2 A)$ est une identité