Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ par $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\cot (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 4.2

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\frac{\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Développez $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Étape 6.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Étape 6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Étape 6.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Étape 7

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Étape 7.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Étape 7.3

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

Étape 7.4

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 7.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.2

Multipliez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.3

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\sin (x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.6

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.6.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.6.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 8.7.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 8.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 8.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de ${\sin (x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Factorisez ${\sin (x)}^{2}$ à partir de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Étape 8.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Étape 8.8.3

Réécrivez l’expression.

$(\sin (x) - 1) \frac{- 1}{\cos (x)}$

Étape 8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$(\sin (x) - 1) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 8.10

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 8.11

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 8.12

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x)}$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 11

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 12

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Étape 12.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.4

Réécrivez $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 15

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ est une identité