Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Étape 3

Écrivez $- \sin^{2} (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Étape 4

Additionnez des fractions.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.2

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1 + \sin^{2} (x) (- \cos^{2} (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.3

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \cdot 1 + \sin^{2} (x) (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot (1 - \cos^{2} (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par ${\sin (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme $\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ est une identité