Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} = \frac{\cot (x) + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\cot (x) + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Étape 2.2

Écrivez $\cot (y)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Étape 2.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cot (y) - 1}$

Étape 2.4

Écrivez $\cot (y)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1}$ par $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1)}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \sin (y) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (y)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (y) \sin (x) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\sin (x) \sin (y)) - (- \cos (x) \cos (y))}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (x) \sin (y)) - (- \cos (x) \cos (y))$ .

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))}$

Étape 4.4

Réécrivez $- (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))$ comme $- 1 (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))$ .

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- 1 (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$

Étape 5

Réécrivez $- \frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$ comme $\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} = \frac{\cot (x) + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$ est une identité