Trigonométrie Exemples

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$1 - \tan^{2} (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 - \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$1 - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$ est une identité