Trigonométrie Exemples

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

$1 + {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$

Étape 2.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2}$

Étape 2.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + {(1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 + {(\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Réécrivez l’expression.

$1 + {(1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ est une identité