Trigonométrie Exemples

$1 + \cot^{2} (- x) = \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$1 + \cot^{2} (- x)$

Étape 2

Comme $\cot (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- x)$ comme $- \cot (x)$ .

$1 + {(- \cot (x))}^{2}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Multipliez $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ par $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 + \cot^{2} (- x) = \csc^{2} (x)$ est une identité