Trigonométrie Exemples

$\sin^{4} (5 x) + \cos^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin^{4} (5 x) + \cos^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x)$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.1

Réorganisez les termes.

$\sin^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) + \cos^{4} (5 x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\sin^{4} (5 x)$ comme ${(\sin^{2} (5 x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (5 x))}^{2} + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) + \cos^{4} (5 x)$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\cos^{4} (5 x)$ comme ${(\cos^{2} (5 x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (5 x))}^{2} + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) + {(\cos^{2} (5 x))}^{2}$

Étape 2.1.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) = 2 \cdot \sin^{2} (5 x) \cdot \cos^{2} (5 x)$

Étape 2.1.5

Réécrivez le polynôme.

${(\sin^{2} (5 x))}^{2} + 2 \cdot \sin^{2} (5 x) \cdot \cos^{2} (5 x) + {(\cos^{2} (5 x))}^{2}$

Étape 2.1.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = \sin^{2} (5 x)$ et $b = \cos^{2} (5 x)$ .

${(\sin^{2} (5 x) + \cos^{2} (5 x))}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1^{2}$

Étape 3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin^{4} (5 x) + \cos^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) = 1$ est une identité