Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)} = \sec (x) - \cos (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\tan (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 2.4

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec (x) - \cos (x)$

Étape 5

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 6

Écrivez $- \cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{1}$

Étape 7

Additionnez des fractions.

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Étape 7.1

Pour écrire $\frac{- \cos (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{- \cos (x)}{1}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)} = \sec (x) - \cos (x)$ est une identité