Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - \csc^{2} (t)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Étape 4

Soustrayez des fractions.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{1}{\sin^{2} (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ par $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ par $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)}$

Étape 4.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (t) - \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (t)$ et $b = \cos (t)$ .

$\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$ comme $\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$ .

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$ est une identité