Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)}$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x + y)}$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Comme $\cos (- y)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- y)$ comme $\cos (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Étape 4.2

Comme $\sin (- y)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- y)$ comme $- \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (y) \sin (x)$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Étape 5.4

Réécrivez $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ comme $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Étape 6

Réécrivez $- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$ comme $\frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$ est une identité