Trigonométrie Exemples

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $3 \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin (x) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Étape 3.2.6.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 3.2.6.3

Soustrayez $0.3398369$ de $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 4.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$