Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \tan (\frac{5 π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 (- \tan (\frac{π}{6}))}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.3

Associez les exposants.

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Étape 1.3.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (2 \frac{\sqrt{3}}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.3.2

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (\frac{5 π}{6})$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{5 π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Étape 2.3.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Étape 2.3.3

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \tan (\frac{π}{6}))}$

Étape 2.3.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.3.5

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.4

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 1.73205080 \dots$