Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{3})}$

Étape 1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{3})}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{3})}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (\frac{π}{3})$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{(1 + \tan (\frac{π}{3})) (1 - \tan (\frac{π}{3}))}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \tan (\frac{π}{3}))}$

Étape 2.3.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 (1 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 3.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 3.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{1}}$

Étape 3.2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 \cdot 3}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2 + 0}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Étape 4.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 1.73205080 \dots$