Trigonométrie Exemples

$\frac{3}{\tan (67.5)}$

Étape 1

Séparez les fractions.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\tan (67.5)}$

Étape 2

Réécrivez $\tan (67.5)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}}$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$ à $\cot (67.5)$ .

$\frac{3}{1} \cot (67.5)$

Étape 5

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \cot (67.5)$

Étape 6

La valeur exacte de $\cot (67.5)$ est $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $67.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$3 \cot (\frac{135}{2})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité réciproque.

$3 \frac{1}{\tan (\frac{135}{2})}$

Étape 6.3

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$3 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la cotangente est positive dans le premier quadrant.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$ .

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5.1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.2.1

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}}$

Étape 6.5.2.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Étape 6.5.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Étape 6.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Étape 6.5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Étape 6.5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Étape 6.5.3.3

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Étape 6.5.3.4

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Étape 6.5.3.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Étape 6.5.3.6

Simplifiez

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.9

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.10

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.5.3.10.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.10.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.10.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.10.4

Écrivez $\sqrt{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.10.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.10.6

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.3.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.4

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.3.12.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Étape 6.5.3.12.6.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Étape 6.5.3.13

Additionnez $4$ et $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.14

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.15

Annulez le facteur commun à $6 + 4 \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 6.5.3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.5.3.15.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 6.5.3.15.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.3.15.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Étape 6.5.3.15.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Étape 6.5.3.15.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Étape 6.5.3.15.4.4

Divisez $3 + 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Étape 7

Associez $3$ et $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Forme décimale :

$1.24264068 \dots$