Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{6} + x) = \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (\frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{6} + x)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{3}) \sin (x) - \cos (\frac{π}{6} + x)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{3}) \sin (x) - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{π}{3}) \sin (x) - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \cos (\frac{π}{3}) \sin (x) - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4.1.5.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - (\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (x))$

Étape 4.1.5.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - (\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} - \frac{1}{2} \sin (x))$

Étape 4.1.5.4

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - (\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} - \frac{\sin (x)}{2})$

Étape 4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} - - \frac{\sin (x)}{2}$

Étape 4.1.7

Multipliez $- - \frac{\sin (x)}{2}$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sin (x)}{2}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2}$ de $\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{2}$ .

$0 + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2}$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{\sin (x)}{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{2}$

Étape 4.4

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2}$

Étape 4.5.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (\frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{6} + x) = \sin (x)$ est une identité