Trigonométrie Exemples

$\csc (x) - \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}$

Étape 2.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ par $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4

Associez.

$\frac{1 (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Développez $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Étape 6.2.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Étape 6.2.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 6.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}}$

Étape 6.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}}$

Étape 6.2.1.4.6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

Étape 6.2.1.4.7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 6.2.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Étape 6.2.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) + \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 6.4

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 6.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{{(1 + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{{(1 + \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1

Factorisez $1 + \cos (x)$ à partir de ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 8.5

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 8.6

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 8.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.8.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.8.3

Multipliez $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 8.8.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.8.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.8.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.8.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.9

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.11.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.11.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun de $1 + \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 9

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\csc (x) - \cot (x)$

Étape 10

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 10.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)$

Étape 10.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 12

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc (x) - \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ est une identité