Trigonométrie Exemples

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\csc^{2} (x)}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Étape 2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \csc^{2} (x)}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \csc^{2} (x)}$

Étape 2.2.3

Associez $2$ et $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \csc^{2} (x)}$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.2.8

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 2.4

Associez.

$\frac{1 \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (2 x)}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (2 x)}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1}{\cos (2 x)}$ comme $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$ est une identité