Trigonométrie Exemples

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 2}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 2}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\csc^{2} (x) - 2}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2}$

Étape 2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 2}$

Étape 2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2 \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.5

Associez ${\sin (x)}^{2}$ et $\frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2})}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

$\frac{1}{1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos (2 x)}$ comme $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 2}$ est une identité