Trigonométrie Exemples

$\sec (- x) - \sin (- x) \tan (- x) = \cos (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sec (- x) - \sin (- x) \tan (- x)$

Étape 2

Comme $\sec (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\sec (- x)$ comme $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sin (- x) \tan (- x)$

Étape 3

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\sec (x) - - \sin (x) \tan (- x)$

Étape 4

Comme $\tan (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\tan (- x)$ comme $- \tan (x)$ .

$\sec (x) - - \sin (x) (- \tan (x))$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} - - \sin (x) (- \tan (x))$

Étape 5.1.2

Multipliez $- - \sin (x)$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + 1 \sin (x) (- \tan (x))$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \tan (x))$

Étape 5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.1.5.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.1.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.1.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 5.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Étape 5.4.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (- x) - \sin (- x) \tan (- x) = \cos (x)$ est une identité