Trigonométrie Exemples

$\sec (u) + \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 - \sin (u)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\cos (u)}{1 - \sin (u)}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\cos (u)}{1 - \sin (u)}$ par $\frac{1 + \sin (u)}{1 + \sin (u)}$ .

$\frac{\cos (u)}{1 - \sin (u)} \cdot \frac{1 + \sin (u)}{1 + \sin (u)}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\cos (u) (1 + \sin (u))}{(1 - \sin (u)) (1 + \sin (u))}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \sin (u)}{(1 - \sin (u)) (1 + \sin (u))}$

Étape 4.2

Multipliez $\cos (u)$ par $1$ .

$\frac{\cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{(1 - \sin (u)) (1 + \sin (u))}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 - \sin (u)) (1 + \sin (u))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 (1 + \sin (u)) - \sin (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (u) - \sin (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (u) - \sin (u) \cdot 1 - \sin (u) \sin (u)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $\cos (u) + \cos (u) \sin (u)$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $\cos (u) \sin (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (\sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Étape 7.1.3

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (\sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) (1 + \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 8

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\sec (u) + \tan (u)$

Étape 9

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 9.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\cos (u)} + \tan (u)$

Étape 9.2

Écrivez $\tan (u)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 11

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (u) + \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 - \sin (u)}$ est une identité