Trigonométrie Exemples

$\sin (x) \cos (y) = \frac{1}{2} \cdot (\sin (x + y) + \sin (x - y))$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x + y) + \sin (x - y))$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y))$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Comme $\cos (- y)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- y)$ comme $\cos (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y))$

Étape 4.1.2

Comme $\sin (- y)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- y)$ comme $- \sin (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y)))$

Étape 4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $\cos (x) \sin (y)$ de $\cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \sin (x) \cos (y) + 0)$

Étape 4.2.2

Additionnez $\sin (x) \cos (y) + \sin (x) \cos (y)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \sin (x) \cos (y))$

Étape 4.3

Additionnez $\sin (x) \cos (y)$ et $\sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \sin (x) \cos (y))$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (y)))$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (y)))$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) \cos (y)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x) \cos (y) = \frac{1}{2} \cdot (\sin (x + y) + \sin (x - y))$ est une identité