Trigonométrie Exemples

$\tan (t) + \frac{1}{\tan (t)} = \frac{1}{\sin (t) \cos (t)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (t) + \frac{1}{\tan (t)}$

Étape 2

Écrivez $\tan (t)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\tan (t)}{1} + \frac{1}{\tan (t)}$

Étape 3

Additionnez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{\tan (t)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\tan (t)}{\tan (t)}$ .

$\frac{\tan (t)}{1} \cdot \frac{\tan (t)}{\tan (t)} + \frac{1}{\tan (t)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\tan (t)}{1}$ par $\frac{\tan (t)}{\tan (t)}$ .

$\frac{\tan (t) \tan (t)}{\tan (t)} + \frac{1}{\tan (t)}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\tan (t) \tan (t) + 1}{\tan (t)}$

Étape 4

Multipliez $\tan (t) \tan (t)$ .

$\frac{\tan^{2} (t) + 1}{\tan (t)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (t)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}}{\tan (t)}$

Étape 6.2

Écrivez $\tan (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1^{2}}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 7.2

Associez.

$\frac{1^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $\cos (t)$ et ${\cos (t)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $1^{2} \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cdot 1^{2}}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de ${\cos (t)}^{2} \sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cdot 1^{2}}{\cos (t) (\cos (t) \sin (t))}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (t) \cdot 1^{2}}{\cos (t) (\cos (t) \sin (t))}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1^{2}}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 7.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}$ comme $\frac{1}{\sin (t) \cos (t)}$ .

$\frac{1}{\sin (t) \cos (t)}$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (t) + \frac{1}{\tan (t)} = \frac{1}{\sin (t) \cos (t)}$ est une identité