Trigonométrie Exemples

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x)$

Étape 3

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\sec^{2} (x) - 1 + \tan (x) \cot (x)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 + \tan (x) \cot (x)$

Étape 5.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (x)$

Étape 5.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + 1$

Étape 6.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Étape 6.3

Additionnez $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x)$ est une identité