Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{2 π}{3} - \frac{5 π}{4})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4})$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{5 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π \cdot 3}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 - 5 π \cdot 3}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\cos (\frac{8 π - 5 π \cdot 3}{12})$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\cos (\frac{8 π - 15 π}{12})$

Étape 5.3

Soustrayez $15 π$ de $8 π$ .

$\cos (\frac{- 7 π}{12})$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (- \frac{7 π}{12})$

Étape 7

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{17 π}{12})$

Étape 8

La valeur exacte de $\cos (\frac{17 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{17 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Étape 8.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Étape 8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Étape 8.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 8.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

Étape 8.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 8.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 8.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 8.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 8.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 8.4.7

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.4.7.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Étape 8.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Étape 8.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Étape 8.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 8.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.25881904 \dots$