Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π \cdot 3}{12})$

Étape 5.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\cos (\frac{8 π + 3 \cdot π}{12})$

Étape 5.3

Additionnez $8 π$ et $3 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (\frac{11 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (\frac{π}{12})$

Étape 6.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 6.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 6.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 6.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 6.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.96592582 \dots$