Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (315)}{1 + \cos (315)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{- \sin (45)}{1 + \cos (315)}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (315)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{2} \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ et $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})$

Étape 7

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}$

Étape 8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{2}$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 11

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 12

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 12.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Étape 12.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Étape 12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 13.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 13.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}$

Étape 13.1.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 13.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $2$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Étape 14.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Étape 14.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Étape 14.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Étape 14.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 14.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Étape 14.1.4.4

Divisez $\sqrt{2} - 1$ par $1$ .

$- (\sqrt{2} - 1)$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} - - 1$

Étape 14.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{2} + 1$

Forme décimale :

$- 0.41421356 \dots$