Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (75)$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (75)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin^{2} (30 + 45)$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

${(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))}^{2}$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Étape 1.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Étape 1.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Étape 1.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}$

Étape 1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Étape 2.3

Réécrivez ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.6

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.10

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.11

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 4.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Étape 4.1.14

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Étape 4.1.15

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Étape 4.1.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Étape 4.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 4.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Étape 5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$0.93301270 \dots$