Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (30) + \sin (30)}{\cos (45)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (30)}{\cos (45)}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}}{\cos (45)}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}}{\cos (45)}$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$(\sqrt{3} + 1) \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\sqrt{3} + 1) (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\sqrt{3} + 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Multipliez $\sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$1.93185165 \dots$