Trigonométrie Exemples

$\arcsin (\sin (\frac{23 π}{12}))$

Étape 1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\arcsin (- \sin (\frac{π}{12}))$

Étape 2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\arcsin (- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

Étape 3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\arcsin (- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\arcsin (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\arcsin (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\arcsin (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Forme décimale :

$- 0.26179938 \dots$