Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (165)$

Étape 1

La valeur exacte de $\tan (165)$ est $- 2 + \sqrt{3}$ .

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

${(- \tan (15))}^{2}$

Étape 1.2

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

${(- \tan (45 - 30))}^{2}$

Étape 1.3

Séparez la négation.

${(- \tan (45 - (30)))}^{2}$

Étape 1.4

Appliquez l’identité de différence d’angles.

${(- \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

${(- \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.9

Simplifiez $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 1.9.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 1.9.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

${(- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))}^{2}$

Étape 1.9.1.2

Associez.

${(- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.9.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.9.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.9.3.2

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.9.3.3

Réécrivez l’expression.

${(- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.9.4

Multipliez $3$ par $1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.9.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.9.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.9.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.9.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.9.5.2.2

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.9.5.2.3

Réécrivez l’expression.

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Étape 1.9.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

${(- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))}^{2}$

Étape 1.9.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

Étape 1.9.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Étape 1.9.9

Simplifiez

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.12.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.12.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.12.3

Appliquez la propriété distributive.

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.9.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

${(- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.9.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.9.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

${(- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

${(- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 1.9.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

${(- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.9.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

${(- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.9.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.9.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Étape 1.9.14.4.2

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Étape 1.9.14.4.3

Réécrivez l’expression.

${(- \frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Étape 1.9.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

${(- (2 - \sqrt{3}))}^{2}$

Étape 1.9.15

Appliquez la propriété distributive.

${(- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.9.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(- 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.9.17

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 1.9.17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(- 2 + 1 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.9.17.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2

Réécrivez ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$

Étape 3

Développez $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 4.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3$

Étape 4.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Étape 4.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$7 - 4 \sqrt{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$7 - 4 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$0.07179676 \dots$