Trigonométrie Exemples

$\arctan (\tan (- \frac{3 π}{8}))$

Étape 1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\arctan (\tan (\frac{13 π}{8}))$

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (\frac{13 π}{8})$ est $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{13 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}}$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Étape 2.4.7

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})$

Étape 2.4.8

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}})$

Étape 2.4.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

Étape 2.4.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

Étape 2.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Étape 2.4.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

Étape 2.4.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.13.1

Annulez le facteur commun.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

Étape 2.4.13.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})$

Étape 2.4.14

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})$

Étape 2.4.15

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})$

Étape 2.4.16

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})$

Étape 2.4.17

Simplifiez

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.4.18

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.4.19

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.19.1

Annulez le facteur commun.

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.4.19.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.4.20

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})$

Étape 2.4.21

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.4.21.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.4.21.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})$

Étape 2.4.21.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.21.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})$

Étape 2.4.21.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})$

Étape 2.4.21.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})$

Étape 2.4.21.5

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 2$ et $2$ .

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Étape 2.4.21.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})$

Étape 2.4.21.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})$

Étape 2.4.21.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})$

Étape 2.4.21.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.21.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})$

Étape 2.4.21.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})$

Étape 2.4.21.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})$

Étape 2.4.21.5.4.4

Divisez $\sqrt{2} + 1$ par $1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})$

Étape 2.4.22

Additionnez $2$ et $1$ .

$\arctan (- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})$

Étape 2.4.23

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

Forme décimale :

$- 1.17809724 \dots$