Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (15) - 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

Étape 1.1.2

Séparez la négation.

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

Étape 1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Étape 1.6

Développez $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.10

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.11

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.7.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.14

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.15

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

Étape 1.7.1.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

Étape 1.7.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

Étape 1.7.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $8$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Étape 1.8.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

Étape 1.8.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

Étape 1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

Étape 1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

Étape 1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$0.86602540 \dots$