Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ because it is raised to an even power.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}}^{2} - 1$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 {(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} - 1$

Étape 1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ comme $(1 + \cos (x)) \cdot 2$ .

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Étape 1.8.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ comme ${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.1.5

Simplifiez

$2 \frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$2 \frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.5

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (x)$ .

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Étape 1.8.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} - 1$

Étape 1.8.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} - 1$

Étape 1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{4} - 1$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{2 (2)} - 1$

Étape 1.10.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} - 1$

Étape 1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2} - 1$

Étape 1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2} - 1$

Étape 1.11.2

Divisez $1 + \cos (x)$ par $1$ .

$1 + \cos (x) - 1$

Étape 2

Associez les termes opposés dans $1 + \cos (x) - 1$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 2.2

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$