Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{7 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 1.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{6}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Réécrivez $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ comme $- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$