Trigonométrie Exemples

$\cos (6 x) - \cos (2 x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\cos (2 (3 x)) - \cos (2 x)$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer $\cos (3 x)$ en $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.2

Réécrivez ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ comme $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.3

Développez $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (4 \cdot 4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.2.1

Déplacez $\cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cdot 4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (4 \cdot 4 {\cos (x)}^{3 + 3} + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$2 (4 \cdot 4 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.4

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.4.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{3} (x)$ .

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Étape 1.2.4.1.4.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.5

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.6

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.6.1

Déplacez $\cos^{3} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.6.2

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.4.1.6.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.7

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.8

Multipliez $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Étape 1.2.4.1.8.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.8.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.8.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $12 \cos^{4} (x)$ de $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $16$ par $2$ .

$32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.6.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - (2 \cos^{2} (x)) - - 1$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - 2 \cos^{2} (x) - - 1$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Étape 2.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) + 0 - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2.1.2

Additionnez $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x)$ et $0$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2.2

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $18 \cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x)$