Trigonométrie Exemples

$\cos (2 \arctan (x))$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\cos (\arctan (x))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.3.6.5

Simplifiez

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.5.5

Simplifiez

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun à $1 + x^{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.2.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Étape 2.1.7

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (x))$ est $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Étape 2.1.8

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Étape 2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Étape 2.1.9.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Étape 2.1.9.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2}$

Étape 2.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 2.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2}$

Étape 2.1.9.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Étape 2.1.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Étape 2.1.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 2.1.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 2.1.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2}$

Étape 2.1.9.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}$

Étape 2.1.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{{(x \sqrt{1 + x^{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.10.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.11.5

Simplifiez

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.12

Annulez le facteur commun à $1 + x^{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.12.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.12.2.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Étape 2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Étape 2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$