Trigonométrie Exemples

$\cos (2 \arcsin (x))$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arcsin (x)) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.4

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

${((1 + x) (1 - x))}^{1} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.4.5

Simplifiez

$(1 + x) (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.5

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - x + x + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x + x - x \cdot x - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x + x - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$1 + 0 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.6.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Étape 2.7

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$1 - x^{2} - x^{2}$

Étape 3

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$1 - 2 x^{2}$