Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (112.5)$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $112.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

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Étape 1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.5

Réécrivez ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 - \sqrt{2}$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ comme ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.5.5

Simplifiez

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\sin (112.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.7.1

Réécrivez $112.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

Étape 1.7.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

Étape 1.7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ .

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Étape 1.7.4.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.7.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Étape 1.7.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Étape 1.7.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Étape 1.7.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Étape 1.7.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Étape 1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.9

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{2}$ .

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Étape 1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ comme ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Étape 1.9.5

Simplifiez

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Étape 1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.70710678 \dots$