Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \sin (2 x) + \cos (2 x)}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{1 + 2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x)}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1.5

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x)) + 2 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x))}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 1.5.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) (\sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{1 + \sin (2 x) - \cos (2 x)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{1 + 2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x)}$

Étape 2.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{1 + 2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos^{2} (x) - 1)}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{1 + 2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{1 + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - - 1}$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{1 + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 2.7

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (1) + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (1) + 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (1) + 2 (\sin (x) \cos (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}$

Étape 2.7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (\sin (x) \cos (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (1 + \sin (x) \cos (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}$

Étape 2.7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 + \sin (x) \cos (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (1 + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x))}$

Étape 2.8

Déplacez $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (1 - \cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x))}$

Étape 2.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x))}$

Étape 2.10

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x))}$

Étape 2.10.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x)))}$

Étape 2.10.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 (\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)))}$

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x) + \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot (x)$