Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{1 - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) + 1}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos^{2} (x)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.6

Réécrivez $2 - 2 \cos^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \cos^{2} (x)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + 2 \cos^{2} (x) - 1}$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{0 + 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{2} (x)}$