Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 1

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

${(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}})}^{2}$

Étape 2

Remove the plus-minus sign on $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ because it is raised to an even power.

${\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}}^{2}$

Étape 3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Étape 5.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Étape 5.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Étape 5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Étape 5.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Étape 5.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 5.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 5.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Étape 5.1.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ comme $(1 - \cos (x)) \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ comme ${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Étape 6.1.5

Simplifiez

$\frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Étape 6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Étape 6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

Étape 6.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

Étape 7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

Étape 8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \cos (x)}{2}$