Trigonométrie Exemples

tan (4 x)

$\tan (4 x)$

Étape 1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4 x

$4 x$ .

tan (2 (2 x))

$\tan (2 (2 x))$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{1 - {tan}^{2} (x)}}{1 - {tan}^{2} (2 x)}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}}{1 - \tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{1^{2} - {tan}^{2} (x)}}{1 - {tan}^{2} (2 x)}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)}}{1 - \tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = 1

$a = 1$ et

b = tan (x)

$b = \tan (x)$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{1 - {tan}^{2} (2 x)}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{1 - \tan^{2} (2 x)}$

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{1 - {tan}^{2} (2 x)}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{1 - \tan^{2} (2 x)}$

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{1 - {tan}^{2} (2 x)}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{1 - \tan^{2} (2 x)}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{1^{2} - {tan}^{2} (2 x)}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{1^{2} - \tan^{2} (2 x)}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = 1

$a = 1$ et

b = tan (2 x)

$b = \tan (2 x)$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + tan (2 x)) (1 - tan (2 x))}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \tan (2 x)) (1 - \tan (2 x))}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{1 - {tan}^{2} (x)}) (1 - tan (2 x))}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}) (1 - \tan (2 x))}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{1^{2} - {tan}^{2} (x)}) (1 - tan (2 x))}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)}) (1 - \tan (2 x))}$

Étape 3.3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = 1

$a = 1$ et

b = tan (x)

$b = \tan (x)$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - tan (2 x))}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \tan (2 x))}$

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - tan (2 x))}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \tan (2 x))}$

Étape 3.3.3

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{1 - {tan}^{2} (x)})}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)})}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{1^{2} - {tan}^{2} (x)})}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)})}$

Étape 3.3.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = 1

$a = 1$ et

b = tan (x)

$b = \tan (x)$ .

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

\frac{2 \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{2 \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

Étape 4

Associez

2

$2$ et

\frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

\frac{\frac{2 (2 tan (x))}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{\frac{2 (2 \tan (x))}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

Étape 5

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\frac{4 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{\frac{4 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\frac{4 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{4 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$

Étape 7

Multipliez

\frac{4 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}

$\frac{4 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ par

\frac{1}{(1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{1}{(1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$ .

\frac{4 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) (1 + \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))}) (1 - \frac{2 tan (x)}{(1 + tan (x)) (1 - tan (x))})}

$\frac{4 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)) (1 + \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}) (1 - \frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))})}$