Trigonométrie Exemples

$\tan (x) \tan (\frac{x}{2})$

Étape 1

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\tan (x) (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}})$

Étape 2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}}$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}})$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}}$ par $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}}$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}} \cdot \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}})$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}}$ par $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)}}$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}})$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{1 + \cos (x)}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{\sqrt{1 + \cos (x)}}^{1} \sqrt{1 + \cos (x)}})$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{1 + \cos (x)}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{\sqrt{1 + \cos (x)}}^{1} {\sqrt{1 + \cos (x)}}^{1}})$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{\sqrt{1 + \cos (x)}}^{1 + 1}})$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{\sqrt{1 + \cos (x)}}^{2}})$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + \cos (x)}}^{2}$ comme $1 + \cos (x)$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + \cos (x)}$ comme ${(1 + \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{({(1 + \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{1}})$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{1 + \cos (x)}}{1 + \cos (x)})$

Étape 5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\tan (x) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}}{1 + \cos (x)})$