Trigonométrie Exemples

$\sin (6 x)$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\sin (2 (3 x))$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

$2 (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) \cos (3 x)$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (- 4 \sin^{3} (x)) + 2 (3 \sin (x))) \cos (3 x)$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$(- 8 \sin^{3} (x) + 2 (3 \sin (x))) \cos (3 x)$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(- 8 \sin^{3} (x) + 6 \sin (x)) \cos (3 x)$

Étape 5

Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer $\cos (3 x)$ en $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$(- 8 \sin^{3} (x) + 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Étape 6

Développez $(- 8 \sin^{3} (x) + 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 8 \cdot 4 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Étape 7.1.4

Multipliez $4$ par $6$ .

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Étape 7.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.2.1

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Étape 7.2.1.2

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $24 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x)) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Étape 7.2.1.3

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $24 \sin (x) \cos^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x)) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Étape 7.2.1.4

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$

Étape 7.2.1.5

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$

Étape 7.2.1.6

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$

Étape 7.2.1.7

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \cos^{2} (x) - 9)$

Étape 7.2.2

Factorisez $12$ à partir de $12 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 (\sin^{2} (x)) + 12 \cos^{2} (x) - 9)$

Étape 7.2.3

Factorisez $12$ à partir de $12 \cos^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 (\sin^{2} (x)) + 12 (\cos^{2} (x)) - 9)$

Étape 7.2.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (\sin^{2} (x)) + 12 (\cos^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - 9)$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \cdot 1 - 9)$

Étape 9

Simplifiez en multipliant.

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Étape 9.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 - 9)$

Étape 9.2

Soustrayez $9$ de $12$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 3)$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

Étape 10

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

Étape 10.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 10.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

Étape 10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

Étape 10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

Étape 11

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 6 \sin (x) \cos (x)$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

Étape 12.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 12.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)) \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

Étape 12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin^{3} (x) {\cos (x)}^{2 + 1} \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

Étape 12.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

Étape 12.2

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 6 \sin (x) \cos (x)$