Trigonométrie Exemples

$\cos (x + y) \cos (x - y)$

Étape 1

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

Étape 2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 3

Développez $(\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Étape 4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ et $- \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.1.2

Soustrayez $\cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + 0 - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.1.3

Additionnez $\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.5

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.6

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) {\cos (y)}^{1 + 1} - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.2

Multipliez $- \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Étape 4.2.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \sin (y) \sin (y)$

Étape 4.2.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \sin (y) \sin (y)$

Étape 4.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) \sin (y)$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) \sin (y) \sin (y)$

Étape 4.2.2.5

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) (\sin^{1} (y) \sin (y))$

Étape 4.2.2.6

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y))$

Étape 4.2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) {\sin (y)}^{1 + 1}$

Étape 4.2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (y)$