Trigonométrie Exemples

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

Étape 1

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.2

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.6

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (2 x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (2 x))$ est $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

Étape 2.1.10

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (2 x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (2 x))$ est $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Étape 2.1.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

Étape 2.1.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Étape 2.1.14

Multipliez $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.14.1

Élevez $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à la puissance $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Étape 2.1.14.2

Élevez $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à la puissance $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

Étape 2.1.14.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.14.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

Étape 2.1.15

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ comme $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ comme ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

Étape 2.1.15.5

Simplifiez

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

Étape 2.1.16

Développez $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Étape 2.1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Étape 2.1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Étape 2.1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.17.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Étape 2.1.17.1.2

Multipliez $- 2 x$ par $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Étape 2.1.17.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

Étape 2.1.17.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Étape 2.1.17.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.17.1.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Étape 2.1.17.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

Étape 2.1.17.1.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

Étape 2.1.17.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

Étape 2.1.17.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$