Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 1

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) \cos (\frac{x}{2})$

Étape 5

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})$

Étape 6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})$

Étape 7

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 8.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 8.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})$

Étape 8.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})$

Étape 9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Étape 10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$(\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (x))}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})$