Trigonométrie Exemples

$\sin (67.5) \cos (22.5)$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (67.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $67.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sin (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.9

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

Étape 4

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ comme ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.85355339 \dots$