Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{7 π}{4})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{4})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{7 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{7 π \cdot 3}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (\frac{π \cdot 2 + 7 π \cdot 3}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\tan (\frac{2 \cdot π + 7 π \cdot 3}{12})$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\tan (\frac{2 π + 21 π}{12})$

Étape 5.3

Additionnez $2 π$ et $21 π$ .

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\tan (\frac{23 π}{12})$ est $- 2 + \sqrt{3}$ .

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Étape 6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- \tan (\frac{π}{12})$

Étape 6.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 6.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.7

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8

Simplifiez $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 6.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 6.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Étape 6.8.1.2

Associez.

$- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 6.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Étape 6.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Étape 6.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.8.9

Simplifiez

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Étape 6.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Étape 6.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Étape 6.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 6.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 6.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Étape 6.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Étape 6.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 6.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Étape 6.8.15

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Étape 6.8.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Étape 6.8.17

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 6.8.17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Étape 6.8.17.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 0.26794919 \dots$